Cho ∆ABC vuông tại A có AB

a) Ta có ∠AMC = 90° (do ∆ABC vuông tại A) và ∠ACM = ∠CAM (do ∆ABC cân tại A), nên ∆AMC cân.

b) Gọi P là giao điểm của tia đối của tia OM với AC. Ta cần chứng minh AM = MC và ∠AMC = 90°.

Vì OM ⊥ AC, nên ∠OMC = 90°. Mà ∠OMC = ∠PMC (do O, P, M, C cùng thuộc một đường thẳng), nên ∠PMC = 90°.

Do đó, ∆PMC vuông tại P. Vì ∆AMC cân, nên AP là đường trung tuyến của ∆PMC. Vì vậy, AM = MC.

Tiếp theo, ta có ∠AMP = ∠CMP (do AP là đường trung tuyến của ∆PMC), nên ∠AMP + ∠CMP = 180°.

Nhưng ∠AMP + ∠CMP = ∠AMC, nên ∠AMC = 180° - ∠AMP - ∠CMP = 180° - 90° - 90° = 0°.

Vậy, ∠AMC = 0°, nên ∆AMC là một hình thoi.

c) Gọi E là giao điểm của tia đối của tia NI với AC. Ta cần chứng minh A, M, D thẳng hàng, tức là AD // NI.

Vì ∆AMC cân, nên I là trung điểm của MC. Vì vậy, ID // AC (do I là trung điểm của MC và D nằm trên tua NI).

Ta có ∠DIN = ∠DIC (do ID // AC), nên ∠DIN = ∠DIC = ∠MCA.

Vì ∆AMC cân, nên ∠MCA = ∠CAM. Nhưng ∠DIN = ∠MCA, nên ∠DIN = ∠CAM.

Vậy, A, M, D thẳng hàng.