Chứng minh f(x) + g(x); f(x) - g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến

a) Để chứng minh f(x) + g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của f(x) + g(x) là không âm trên một khoảng xác định.

Đạo hàm của f(x) + g(x) là (m+2) + m/√(m^2) = (m+2) + m/m = (m+2) + 1 = m+3.

Vì m khác 0, nên m+3 luôn không âm. Do đó, đạo hàm của f(x) + g(x) là không âm trên mọi khoảng xác định. Vậy f(x) + g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến.

Tương tự, để chứng minh f(x) - g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của f(x) - g(x) là không âm trên một khoảng xác định.

Đạo hàm của f(x) - g(x) là (m+2) - m/√(m^2) = (m+2) - m/m = (m+2) - 1 = m+1.

Vì m khác 0, nên m+1 luôn không âm. Do đó, đạo hàm của f(x) - g(x) là không âm trên mọi khoảng xác định. Vậy f(x) - g(x) là hàm số bậc nhất đồng biến.

b) Để chứng minh g(x) - f(x) là hàm số bậc nhất nghịch biến, ta cần chứng minh rằng đạo hàm của g(x) - f(x) là không dương trên một khoảng xác định.

Đạo hàm của g(x) - f(x) là m/√(m^2) - (m+2) = m/m - (m+2) = 1 - (m+2) = -m-1.

Vì m khác 0, nên -m-1 luôn không dương. Do đó, đạo hàm của g(x) - f(x) là không dương trên mọi khoảng xác định. Vậy g(x) - f(x) là hàm số bậc nhất nghịch biến.