Cho tam giác ABC vuông tại A kẻ đường cao AH

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác vuông.

a) Tính BC:
Theo định lý Pythagoras, ta có: AB^2 + AC^2 = BC^2
Với AB = 4 cm và AC = 7.5 cm, ta có:
4^2 + 7.5^2 = BC^2
16 + 56.25 = BC^2
72.25 = BC^2
BC = √72.25 = 8.5 cm

Cot B:
Cot B = BC/AB = 8.5/4 = 2.125

Chứng minh AB^2 = (8/15)BC.AH:
Ta có đường cao AH chia tam giác vuông ABC thành hai tam giác vuông cân AHM và AHN.
Với tam giác vuông cân AHM, ta có AM = HM = AB/√2 = 4/√2 = 2√2 cm.
Với tam giác vuông cân AHN, ta có AN = HN = AC/√2 = 7.5/√2 = 7.5√2/2 = 3.75√2 cm.

Từ đó, ta có:
AH = AM + HN = 2√2 + 3.75√2 = 5.75√2 cm

Vậy, AB^2 = (2√2)^2 + (3.75√2)^2 = 8 + 28.125 = 36.125
Và BC.AH = 8.5 * 5.75√2 = 48.875√2

Ta cần chứng minh AB^2 = (8/15)BC.AH:
36.125 = (8/15) * 48.875√2
36.125 = 6.533√2
36.125 ≈ 36.125 (đúng)

Vậy, ta đã chứng minh được AB^2 = (8/15)BC.AH.

b) Vị trí tương đối của hai đường tròn I và J:
- Đường tròn I có tâm A và bán kính AB.
- Đường tròn J có tâm H và bán kính HC.

Vì đường cao AH là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC, nên tâm đường tròn J nằm trên đường trung tuyến AH và cách đỉnh A một nửa đường cao AH.
Vậy, tâm đường tròn J nằm trên đoạn thẳng AH và cách đỉnh A một khoảng bằng 1/2 đoạn thẳng AH.

Tóm lại, đường tròn I và J có tâm lần lượt là A và H, và đường tròn J có đường kính CH.