Ta có phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ có giá trị là một số nguyên khi và chỉ khi $4n+1$ chia hết cho $8n+19$.

Áp dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất của hai số $4n+1$ và $8n+19$:

\begin{align*}
8n+19 &= 2(4n+1) + (15) \\
4n+1 &= 0(15) + (4n+1)
\end{align*}

Do đó, ước chung lớn nhất của hai số này là $15$.

Vậy, để phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ có giá trị là một số nguyên, ta cần $15$ chia hết cho $4n+1$.

Ta có $4n+1 = 15k$, với $k$ là một số nguyên.

Suy ra, $n = \frac{15k-1}{4}$.

Vậy, để tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta cần tìm các giá trị nguyên dương của $k$ sao cho $\frac{15k-1}{4}$ là số tự nhiên.

Ta thử với một số giá trị của $k$:

- Với $k = 1$, ta có $n = \frac{15-1}{4} = 3$. Tuy nhiên, phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ không có giá trị là một số nguyên.

- Với $k = 2$, ta có $n = \frac{30-1}{4} = 7$. Tuy nhiên, phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ không có giá trị là một số nguyên.

- Với $k = 3$, ta có $n = \frac{45-1}{4} = 11$. Tuy nhiên, phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ không có giá trị là một số nguyên.

- Với $k = 4$, ta có $n = \frac{60-1}{4} = 14$. Tuy nhiên, phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ không có giá trị là một số nguyên.

- Với $k = 5$, ta có $n = \frac{75-1}{4} = 18$. Tuy nhiên, phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ không có giá trị là một số nguyên.

...

Ta thấy không có giá trị nguyên dương của $k$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy, không tồn tại số tự nhiên $n$ để phân số $\frac{8n+19}{4n+1}$ có giá trị là một số nguyên.