S chia hết cho 100 và 120

Để tìm các số nguyên dương n mà S=3+3²+3³+...+3ⁿ chia hết cho 100 và 120, ta cần tìm các giá trị của n thỏa mãn hai điều kiện này.

Đầu tiên, ta xét điều kiện chia hết cho 100. Ta biết rằng S=3+3²+3³+...+3ⁿ có dạng tổng cấp số nhân với công bội là 3. Ta có công thức tổng cấp số nhân:

S = a * (rⁿ - 1) / (r - 1)

Trong đó, a là số hạng đầu tiên (3), r là công bội (3), và n là số hạng cuối cùng.

Để S chia hết cho 100, ta cần tìm số nguyên dương n sao cho S chia hết cho 100. Ta có:

S = 3 * (3ⁿ - 1) / 2

Điều này có nghĩa là 3ⁿ - 1 chia hết cho 2. Vì 3ⁿ - 1 luôn là số lẻ, nên để chia hết cho 2, n phải là số chẵn. Ta thử các giá trị n chẵn từ 2 trở đi:

Khi n = 2, S = 3 + 3² = 12
Khi n = 4, S = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ = 120
Khi n = 6, S = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ = 366

Ta thấy rằng khi n = 4, S = 120 chia hết cho cả 100 và 120. Vậy n = 4 là một giá trị thỏa mãn.

Tiếp theo, ta xét điều kiện chia hết cho 120. Ta cần tìm số nguyên dương n sao cho S chia hết cho 120. Ta có:

S = 3 * (3ⁿ - 1) / 2

Điều này có nghĩa là 3ⁿ - 1 chia hết cho 8 và 3ⁿ - 1 chia hết cho 15. Vì 3ⁿ - 1 luôn là số lẻ, nên để chia hết cho 8, n phải là số chẵn. Ta thử các giá trị n chẵn từ 2 trở đi:

Khi n = 2, S = 3 + 3² = 12
Khi n = 4, S = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ = 120
Khi n = 6, S = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ = 366

Ta thấy rằng khi n = 4, S = 120 chia hết cho cả 100 và 120. Vậy n = 4 là một giá trị thỏa mãn.

Vậy, giá trị của n thỏa mãn cả hai điều kiện là n = 4.