a) Ta có tam giác vuông ABC, với AB = 6 cm và AC = 8 cm.
Theo định lí Pythagoras, ta có:
BC² = AB² + AC²
BC² = 6² + 8²
BC² = 36 + 64
BC² = 100
BC = √100
BC = 10 cm

Vì M là trung điểm của BC, nên AM = MC = BC/2 = 10/2 = 5 cm.

b) Để chứng minh ABDC là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AB // DC và AB = DC.

Vì M là trung điểm của BC, nên theo tính chất của trung điểm, ta có AM = MC và AM // BC.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có AM ⊥ AB và MC ⊥ AC.

Vậy, ta có hai cặp đường thẳng vuông góc với nhau: AM ⊥ AB và MC ⊥ AC.
Do đó, ta có AM ⊥ AB ⊥ DC và MC ⊥ AC ⊥ AB.

Vì AM ⊥ AB ⊥ DC và AM = MC, nên ta có ABDC là hình chữ nhật.

c) Để chứng minh AMCN là hình thoi, ta cần chứng minh AM // CN và AM = CN.

Vì N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AC, nên ta có AM = CN.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có AM // BC.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có AM ⊥ AB và CN ⊥ AC.

Vậy, ta có hai cặp đường thẳng vuông góc với nhau: AM ⊥ AB và CN ⊥ AC.
Do đó, ta có AM ⊥ AB ⊥ CN và AM = CN.

Vì AM ⊥ AB ⊥ CN và AM = CN, nên ta có AMCN là hình thoi.