Tính nhanh: 2/1+2 + 5/1+2+3 + 9/1+2+3+4 +9/1+2+3+4+5 +...+ 5049/1+2+3+4+...+99+100

Để tính tổng này, ta sẽ sử dụng công thức tổng của dãy số học hình tam giác.

Công thức tổng của dãy số học hình tam giác là:
S = (n(n+1))/2

Trong đó, n là số phần tử trong dãy.

Ta có dãy số học hình tam giác sau:
2/1+2, 5/1+2+3, 9/1+2+3+4, 9/1+2+3+4+5, ..., 5049/1+2+3+4+...+99+100

Để tính tổng của dãy này, ta sẽ tính tổng riêng của từng phần tử trong dãy và sau đó cộng lại.

Tổng riêng của phần tử thứ i trong dãy là:
T(i) = i/(1+2+3+...+i)

Áp dụng công thức tổng của dãy số học hình tam giác, ta có:
T(i) = i/(i(i+1)/2) = 2/(i+1)

Tổng của dãy số ban đầu là:
S = T(1) + T(2) + T(3) + ... + T(100)

S = 2/(1+1) + 2/(2+1) + 2/(3+1) + ... + 2/(100+1)

S = 2/2 + 2/3 + 2/4 + ... + 2/101

S = 1 + 2/3 + 2/4 + ... + 2/101

Để tính tổng này, ta sẽ sử dụng công thức tổng của dãy số hình học.

Công thức tổng của dãy số hình học là:
S = a(1 - r^n)/(1 - r)

Trong đó, a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số phần tử trong dãy.

Áp dụng công thức tổng của dãy số hình học, ta có:
S = 1 - (2/3)^101 / (1 - 2/3)

S = 1 - (2/3)^101 / (1/3)

S = 1 - (2/3)^101 * 3

S = 1 - 3 * (2/3)^101

S = 1 - 3 * (2^101 / 3^101)

S = 1 - (2^101 / 3^100)

S = (3^100 - 2^101) / 3^100

Vậy tổng của dãy số ban đầu là (3^100 - 2^101) / 3^100.