Cho hình vẽ sau, biết AB = CD, AD = BC và BD là phân giác của góc ABC. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi, ta cần chứng minh rằng các cạnh của nó đều bằng nhau và các đường chéo của nó cắt nhau vuông góc.

Vì AB = CD và AD = BC, ta có:
AB = CD (1)
AD = BC (2)

Ta cần chứng minh BD là phân giác của góc ABC. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh hai tam giác ABD và CBD đồng dạng.

Ta có:
Góc ABD = Góc CBD (vì BD là phân giác của góc ABC)
Góc BDA = Góc BCD (vì AB = CD và AD = BC)

Vì AB = CD và AD = BC, nên hai tam giác ABD và CBD có cạnh chung BD và hai góc tương ứng bằng nhau. Do đó, theo nguyên tắc đồng dạng tam giác, ta có ABD đồng dạng với CBD.

Từ đó, ta có:
BD/AB = BD/CD (vì ABD đồng dạng với CBD)
BD/AB = CD/BD (vì AB = CD)
BD^2 = AB x CD (3)

Tương tự, ta có:
BD/AD = BD/BC (vì ABD đồng dạng với CBD)
BD/AD = BC/BD (vì AD = BC)
BD^2 = AD x BC (4)

Từ (3) và (4), ta có:
AB x CD = AD x BC

Vì AB = CD và AD = BC, nên ta có:
AB^2 = AD^2

Do đó, tứ giác ABCD là hình thoi với các cạnh bằng nhau và các đường chéo cắt nhau vuông góc.