Cho tam giác ABC các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. CMR: EI=DK

Để chứng minh EI = DK, ta sẽ sử dụng định lí về đường trung tuyến trong tam giác.

Theo định lí về đường trung tuyến, ta có:
BD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên BD = \(\frac{AB+AC}{2}\) (1)
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên CE = \(\frac{AC+AB}{2}\) (2)

Ta có GB = \(\frac{1}{2}\)BD (3)
GC = \(\frac{1}{2}\)CE (4)

Vì I là trung điểm của GB, nên GI = \(\frac{1}{2}\)GB (5)
Vì K là trung điểm của GC, nên GK = \(\frac{1}{2}\)GC (6)

Từ (3) và (5), ta có GI = \(\frac{1}{2}\)GB = \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\)BD = \(\frac{1}{4}\)BD (7)
Từ (4) và (6), ta có GK = \(\frac{1}{2}\)GC = \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\)CE = \(\frac{1}{4}\)CE (8)

Từ (1) và (2), ta có BD = AC và CE = AB
Vậy, ta có GI = \(\frac{1}{4}\)BD = \(\frac{1}{4}\)AC và GK = \(\frac{1}{4}\)CE = \(\frac{1}{4}\)AB

Vì EI là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên EI = \(\frac{1}{2}\)AC (9)
Vì DK là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên DK = \(\frac{1}{2}\)AB (10)

Từ (9) và (10), ta có EI = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{4}\)AC + \(\frac{1}{4}\)AC = \(\frac{1}{4}\)AC + \(\frac{1}{4}\)AB = \(\frac{1}{4}\)AB + \(\frac{1}{4}\)AB = \(\frac{1}{2}\)AB = DK

Vậy, ta đã chứng minh được EI = DK.