Tứ giác AHCK là hình thoi.

Vì DE là đường trung bình của tam giác ABC, nên F là trung điểm của DE. Do đó, ta có DF = FE.

Vì K là điểm đối xứng của H qua E, nên KE = KH.

Vì tam giác ABC là tam giác có AB < AC, nên DE // BC.

Vì DF = FE và DE // BC, nên BF // CK.

Vì BF // CK và BF = CK (vì BCFK là hình thoi), nên BCFK là hình thoi.

Để ba điểm B, F, K thẳng hàng, ta cần điểm H nằm trên đường thẳng đi qua B và F.

Vậy, để ba điểm B, F, K thẳng hàng, điểm H phải nằm trên đường thẳng đi qua B và F.