Để tam giác AGBH là hình vuông, ta cần thỏa mãn các điều kiện sau:
1. AG vuông góc với BC: Điều này có nghĩa là G nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại A.
2. AB = BG: Điều này có nghĩa là G nằm trên đường trung bình của tam giác ABC từ đỉnh B.
3. BH = HG: Điều này có nghĩa là H nằm trên đường trung bình của tam giác ABG từ đỉnh B.

Ta sẽ chứng minh rằng tam giác ABC cần phải là tam giác vuông cân để thỏa mãn các điều kiện trên.

Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. Khi đó, ta có:
- AD là đường cao của tam giác ABC, nên D là trung điểm của AB.
- AG là đường trung bình của tam giác ABC từ đỉnh A, nên G nằm trên đường thẳng AG và AG = BG.
- AH là đường trung bình của tam giác ABG từ đỉnh A, nên H nằm trên đường thẳng AH và AH = BH.

Vậy tam giác ABC cần phải là tam giác vuông cân để tú giác AGBH là hình vuông.

Tóm lại, điều kiện để tú giác AGBH là hình vuông là tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A.