Cho tam giác ABC nhọn đường tròn đường kính BC cắt AB, AC tại E và F. a) chứng minh CE vuông góc với AB

a) Ta có:
$\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$ (do E và F nằm trên đường tròn đường kính BC)
Vậy CE vuông góc với AB.

b) Ta có:
$\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$ (do E và F nằm trên đường tròn đường kính BC)
$\widehat{BCE} = \widehat{BAE}$ (cùng nằm trên cung BF)
$\widehat{BFC} = \widehat{BAC}$ (cùng nằm trên cung EF)
Vậy $\triangle BCE \sim \triangle BAE$ và $\triangle BFC \sim \triangle BAC$ (theo góc đồng)
Do đó, ta có:
$\frac{CE}{AE} = \frac{BC}{AB}$ và $\frac{CF}{AF} = \frac{BC}{AB}$
Từ đó, suy ra $\frac{CE}{AE} = \frac{CF}{AF}$
Vậy, theo định lí giao tuyến, ta có CE cắt BF tại H.
Do CE cắt BF tại H, nên ta có $\widehat{BHC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$
Vậy AH vuông góc với BC tại D.

c) Ta có:
$\widehat{BHC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$ (do E và F nằm trên đường tròn đường kính BC)
Vậy B, H, E, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Do đó, ta có BFHD cùng thuộc đường tròn xác định tâm I.

đ) Ta có:
$\frac{CE}{AE} = \frac{BC}{AB}$ và $\frac{CF}{AF} = \frac{BC}{AB}$
Từ đó, suy ra $\frac{CE}{AE} = \frac{CF}{AF}$
Vậy, theo định lí giao tuyến, ta có CE cắt BF tại H.
Do BFHD cùng thuộc đường tròn xác định tâm I, nên ta có $\widehat{BHI} = \widehat{BFI}$
Tương tự, ta có $\widehat{AHI} = \widehat{AEI}$
Vậy, theo góc đồng, ta có $\triangle AHI \sim \triangle AEI$
Do đó, ta có $\frac{AH}{AE} = \frac{AI}{AF}$
Từ đó, suy ra $AH \cdot AF = AE \cdot AI$
Và $AE \cdot AB = AF \cdot AC$
Từ đó, suy ra $AE \cdot AB = AF \cdot AC$ suy ra tam giác AEF đồng dạng tam giác ACB.