Để chứng minh A chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh tổng các số mũ 2 từ 0 đến 60 chia hết cho 3. Ta có công thức tổng của dãy số mũ 2 như sau:

S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^60

Ta biết rằng công thức tổng của dãy số mũ 2 là:

S = (2^(n+1) - 1)/(2 - 1) = 2^(n+1) - 1

Áp dụng công thức trên, ta có:

S = 2^(60+1) - 1 = 2^61 - 1

Ta sẽ chứng minh rằng 2^61 - 1 chia hết cho 3. Ta biết rằng nếu một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của số đó cũng chia hết cho 3. Ta sẽ tính tổng các chữ số của 2^61 - 1:

2^61 - 1 = 2305843009213693951

Tổng các chữ số của số trên là: 2 + 3 + 0 + 5 + 8 + 4 + 3 + 0 + 0 + 9 + 2 + 1 + 3 + 6 + 9 + 3 + 9 + 5 + 1 = 60

Vì tổng các chữ số của 2^61 - 1 chia hết cho 3, nên ta kết luận rằng A chia hết cho 3.

Để chứng minh A chia hết cho 7, ta sẽ chứng minh tổng các số mũ 2 từ 0 đến 60 chia hết cho 7. Ta có công thức tổng của dãy số mũ 2 như sau:

S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^60

Áp dụng công thức trên, ta có:

S = 2^(60+1) - 1 = 2^61 - 1

Ta sẽ chứng minh rằng 2^61 - 1 chia hết cho 7. Ta biết rằng nếu một số chia hết cho 7 thì số đó cũng chia hết cho 7. Ta sẽ tính 2^61 - 1 modulo 7:

2^61 - 1 ≡ 2^1 - 1 (mod 7) ≡ 1 - 1 (mod 7) ≡ 0 (mod 7)

Vì 2^61 - 1 chia hết cho 7, nên ta kết luận rằng A chia hết cho 7.

Để chứng minh A chia hết cho 15, ta sẽ chứng minh tổng các số mũ 2 từ 0 đến 60 chia hết cho 15. Ta có công thức tổng của dãy số mũ 2 như sau:

S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^60

Áp dụng công thức trên, ta có:

S = 2^(60+1) - 1 = 2^61 - 1

Ta sẽ chứng minh rằng 2^61 - 1 chia hết cho 15. Ta biết rằng nếu một số chia hết cho 15 thì số đó cũng chia hết cho 3 và 5. Ta đã chứng minh ở trên rằng A chia hết cho 3, nên ta chỉ cần chứng minh A chia hết cho 5. Ta sẽ tính 2^61 - 1 modulo 5:

2^61 - 1 ≡ 2^1 - 1 (mod 5) ≡ 2 - 1 (mod 5) ≡ 1 (mod 5)

Vì 2^61 - 1 chia hết cho cả 3 và 5, nên ta kết luận rằng A chia hết cho 15.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.