Cho tam giác MNK vuông tại K. Đường trung tuyến KH kẻ HS vuống góc MK (S thuộc MK) và HP vuông góc NK (P thuộc NK). Chứng minh rằng tứ giác KSHP là hình chữ nhật

a) Ta có:
- Đường trung tuyến KH là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN và vuông góc với đoạn thẳng MN tại S.
- Đường trung tuyến HP là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng NK và vuông góc với đoạn thẳng NK tại P.
- Tứ giác KSHP là hình chữ nhật nếu và chỉ nếu KS vuông góc HP và KS = HP.
- Ta có MK vuông góc NK (theo đề bài), nên KS vuông góc HP.
- Ta cần chứng minh KS = HP.
- Gọi T là giao điểm của đường trung tuyến KH và HP.
- Ta có KT là đường trung tuyến của tam giác MNK, nên KT song song với MN và bằng một nửa của MN.
- Ta cũng có PT là đường trung tuyến của tam giác MNK, nên PT song song với NK và bằng một nửa của NK.
- Do đó, KT và PT song song và bằng nhau.
- Vì KT và PT cùng vuông góc với MN và NK, nên KTPT là hình chữ nhật.
- Ta có KS là đường trung tuyến của tam giác MNK, nên KS song song với KT và bằng một nửa của KT.
- Ta cũng có HP là đường trung tuyến của tam giác MNK, nên HP song song với PT và bằng một nửa của PT.
- Do đó, KS và HP cùng song song và bằng nhau.
- Vậy tứ giác KSHP là hình chữ nhật.

b) Để tứ giác KSHP là hình vuông, ta cần và đủ có các điều kiện sau:
- KS vuông góc HP (đúng theo phần a).
- KS = HP (đúng theo phần a).
- KS = HP = KH (điều kiện để tứ giác KSHP là hình vuông).

c) Ta có:
- Tứ giác SHNP là hình bình hành nếu và chỉ nếu SH song song với NP và SH = NP.
- Ta đã chứng minh trong phần a rằng tứ giác KSHP là hình chữ nhật, nên KS song song với HP và KS = HP.
- Ta cũng đã chứng minh trong phần a rằng tứ giác KTPT là hình chữ nhật, nên KT song song với PT và KT = PT.
- Vì KT và PT cùng vuông góc với MN và NK, nên KTPT là hình chữ nhật.
- Do đó, KTPT là hình bình hành.
- Vì KTPT là hình bình hành, nên KT song song với PT và KT = PT.
- Vì KT song song với PT và KT = PT, nên KS song song với HP và KS = HP.
- Vậy tứ giác SHNP là hình bình hành.