Chứng tỏ rằng với n là số tự nhiên, các số sau nguyên tố cùng nhau:

Để chứng minh rằng 3n+1 và 3n là hai số nguyên tố cùng nhau, ta sẽ sử dụng định lý Euclid.

Định lý Euclid: Nếu hai số nguyên a và b không chia hết cho nhau (tức là UCLN(a, b) = 1), thì UCLN(a, a + kb) = 1 với mọi số nguyên k.

Giả sử 3n+1 và 3n có ước chung lớn hơn 1, ký hiệu là d. Tức là d là ước chung của 3n+1 và 3n.

Ta có: 3n+1 ≡ 0 (mod d) và 3n ≡ 0 (mod d)

Từ đó suy ra: 3n+1 - 3n ≡ 0 (mod d)

Simplifying the equation, we get: 1 ≡ 0 (mod d)

Điều này là không thể vì 1 không chia hết cho bất kỳ số nguyên dương nào ngoại trừ 1 và chính nó.

Vì vậy, giả định ban đầu là sai và ta kết luận rằng 3n+1 và 3n là hai số nguyên tố cùng nhau.