Để chứng minh a, ta cần chứng minh rằng tam giác MHK là tam giác đều hoặc tam giác vuông.

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, ta có:
AH = HB và CK = KD (vì H và K là trung điểm)

Đồng thời, theo tính chất của dây chắn góc nội tiếp, ta biết rằng góc AMB và góc CMD là góc bằng nhau. Từ đó, ta suy ra góc AMB và góc CDM là góc bù nhau.

Vì AB và CD là các dây cắt nhau và góc bù nhau, nên tứ giác AMCD là tứ giác lồi, từ đó suy ra tứ giác MHKC là tứ giác lồi.

Theo tính chất tứ giác lồi, tổng độ dài hai cạnh đối nhau luôn lớn hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. Do đó, ta có:

MH + MK > HK và MH + MK > MH

Mà H là trung điểm của AB nên AH = BH, và ta cũng có:
MH + MK = 2MH (vì H là trung điểm)

Vậy MH + MK > HK và MH + MK > 2MH, nhưng vì MH = MH (vì hai cạnh bằng nhau), nên ta có:

MK > HK và MK > MH

Từ đó suy ra MK = MH.

Vậy ta đã chứng minh được MH = MK.

Để chứng minh b, ta có:

Vì H là trung điểm của AB, nên ta có AH = HB.

Tương tự, vì K cũng là trung điểm của CD, nên ta có CK = KD.

Vì góc AMB và góc CMD là góc bằng nhau (do dây chắn góc nội tiếp), nên ta suy ra góc AMB = góc CDM.

Vậy, theo số học, ta có tứ giác AMCD là tứ giác cân.

Từ đó, theo định lý đường cao trong tam giác cân, ta có MA = MC.

Vậy ta đã chứng minh được MA = MC.