a) Ta có:
- Vì K là trung điểm của AB nên AK = KB.
- Vì E là trung điểm của CD nên CE = ED.
- Vì AE và CK cắt nhau tại N nên theo định lí Menelaus ta có: $\frac{AN}{NE}.\frac{EK}{KC}.\frac{CM}{MA} = 1$.
- Vì AE và CK cắt nhau tại N nên theo định lí Menelaus ta có: $\frac{AN}{NE}.\frac{EK}{KC}.\frac{CI}{IA} = 1$.
Từ hai phương trình trên ta suy ra: $\frac{CM}{MA} = \frac{CI}{IA}$. Vậy ta có K, I, E thẳng hàng.

b) Ta có:
- Vì K là trung điểm của AB nên AK = KB.
- Vì E là trung điểm của CD nên CE = ED.
- Vì AE và CK cắt nhau tại N nên theo định lí Menelaus ta có: $\frac{AN}{NE}.\frac{EK}{KC}.\frac{CM}{MA} = 1$.
- Vì AE và CK cắt nhau tại N nên theo định lí Menelaus ta có: $\frac{AN}{NE}.\frac{EK}{KC}.\frac{CI}{IA} = 1$.
Từ hai phương trình trên ta suy ra: $\frac{CM}{MA} = \frac{CI}{IA}$.
- Vì CM = MA nên CI = IA.
- Vì BN = NE nên DM = MA.
Từ đó suy ra DM = BN.