Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo

Để chứng minh m, o, n thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ADC và đường chéo BMN, ta có:
$\frac{AM}{MD} \cdot \frac{DN}{NC} \cdot \frac{CB}{BA} = 1$

Vì p và q lần lượt là trung điểm của RO và OD, nên ta có:
$\frac{AM}{MD} = \frac{AR}{RO} = \frac{1}{2}$
$\frac{DN}{NC} = \frac{DO}{OC} = \frac{1}{2}$

Thay vào công thức trên, ta có:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CB}{BA} = 1$

Simplifying, ta có:
$\frac{CB}{BA} = 4$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường chéo PMN, ta cũng có:
$\frac{CB}{BA} = 4$

Vậy ta có:
$\frac{CB}{BA} = \frac{CB}{BA}$

Do đó, theo định lí Menelaus, ta kết luận rằng M, O, N thẳng hàng.

Để chứng minh AC, MN, PQ đồng quy, ta sẽ sử dụng định lí Ceva.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC và các đường thẳng PQ, MN, ta có:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

Vì p và q lần lượt là trung điểm của RO và OD, nên ta có:
$\frac{AM}{MB} = \frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$
$\frac{BN}{NC} = \frac{BO}{OC} = \frac{1}{2}$
$\frac{CP}{PA} = \frac{CO}{OA} = \frac{1}{2}$

Thay vào công thức trên, ta có:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

Simplifying, ta có:
$\frac{1}{8} = 1$

Vậy ta kết luận rằng AC, MN, PQ đồng quy.