Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của các hình học trong đề bài.

1) Ta cần chứng minh tứ giác BCED và ADCF nội tiếp. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh các góc trong tứ giác BCED và ADCF đều bằng 90 độ.

Gọi góc BAC = α. Vì MD vuông góc với AB, nên góc MDC = 90 - α. Ta có góc MBC = góc MDC = 90 - α.

Vì AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C, nên góc ACB = góc MCB = α.

Do đó, tứ giác BCED là tứ giác có 2 góc vuông, nên nội tiếp.

2) Ta cần chứng minh góc MEC = góc ABC. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc nội tiếp.

Vì tứ giác BCED nội tiếp, nên góc BCD = góc BED. Ta có góc BED = góc BMD = 90 - α (vì MD vuông góc với AB).

Vì tứ giác ADCF nội tiếp, nên góc ACF = góc ADF. Ta có góc ADF = góc MDF = 90 - α (vì MD vuông góc với AB).

Do đó, góc MEC = góc ACF - góc ACB = (90 - α) - α = 90 - 2α = góc ABC.

3) Ta cần chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FEC. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Vì tứ giác BCED nội tiếp, nên góc BCD = góc BED. Ta có góc BED = góc BMD = 90 - α (vì MD vuông góc với AB).

Vì tứ giác ADCF nội tiếp, nên góc ACF = góc ADF. Ta có góc ADF = góc MDF = 90 - α (vì MD vuông góc với AB).

Vì góc MEC = góc ABC, nên góc MEC = góc ACF - góc ACB = (90 - α) - α = 90 - 2α = góc ABC.

Vậy, ta có góc MEC = góc ABC.

Do đó, theo tính chất của các góc nội tiếp, ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FEC.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần cần chứng minh.