Để chứng tỏ rằng (9n+24) và (3n+4) là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số này là 1.

Giả sử (9n+24) và (3n+4) có một ước chung dương khác 1, ký hiệu là d. Điều này có nghĩa là d là ước chung của cả hai số.

Ta có:
(9n+24) = 3(3n+8)
(3n+4) = 3n+4

Vì d là ước chung của cả hai số, nên d cũng là ước chung của 3(3n+8) và (3n+4).

Ta có:
3(3n+8) - (3n+4) = 9n+24 - (3n+4) = 6n+20

Vậy, d cũng là ước chung của 6n+20.

Tiếp tục, ta có:
6n+20 = 2(3n+10)

Vì d là ước chung của cả hai số, nên d cũng là ước chung của 2(3n+10).

Ta có:
2(3n+10) - (3n+10) = 6n+20 - (3n+10) = 3n+10

Vậy, d cũng là ước chung của 3n+10.

Tiếp tục, ta có:
3n+10 = (3n+4) + 6 = (3n+4) + 2(3)

Vì d là ước chung của cả hai số, nên d cũng là ước chung của (3n+4) + 2(3).

Ta có:
(3n+4) + 2(3) - (3n+4) = 6

Vậy, d cũng là ước chung của 6.

Tuy nhiên, ước chung lớn nhất của (9n+24) và (3n+4) không thể là 6 vì 6 không phải là số nguyên tố. Vậy giả định ban đầu là sai.

Do đó, ta kết luận rằng (9n+24) và (3n+4) là hai số nguyên tố cùng nhau.