Để giải câu f, ta cần tìm các giá trị của BD, CE và diện tích hình thoi BCGF.

Ta có:
AB = 20 cm
BC = 15 cm

Vì E là trung điểm CF, nên CE = EF = CF/2. Ta cần tìm CF.

Vì CE vuông góc với BD, nên ta có tam giác BCE vuông tại C. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
BC^2 = CE^2 + BE^2
15^2 = CE^2 + (AB - AE)^2
225 = CE^2 + (20 - AE)^2

Vì E là trung điểm CF, nên AE = EF = CF/2. Thay AE = CF/2 vào phương trình trên, ta có:
225 = CE^2 + (20 - CF/2)^2
225 = CE^2 + (20 - CF/2)^2
225 = CE^2 + 400 - 20CF + CF^2/4
0 = CE^2 + CF^2/4 - 20CF + 175

Vì E là trung điểm CF, nên CE = EF = CF/2. Thay CE = CF/2 vào phương trình trên, ta có:
0 = (CF/2)^2 + CF^2/4 - 20CF + 175
0 = CF^2/4 + CF^2/4 - 20CF + 175
0 = CF^2/2 - 20CF + 175
0 = CF^2 - 40CF + 350

Giải phương trình trên, ta có:
CF = 10 cm hoặc CF = 30 cm

Nếu CF = 10 cm, ta có CE = CF/2 = 5 cm
Nếu CF = 30 cm, ta có CE = CF/2 = 15 cm

Vì CE = EF, nên ta có hình thoi BCGF khi CF = 10 cm và CE = 5 cm.

Diện tích hình thoi BCGF = BC x CE = 15 cm x 5 cm = 75 cm^2

Vậy, diện tích hình thoi BCGF là 75 cm^2.