Để tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện trên, ta cần giải phương trình sau:

n + 2 = x^3 (1)
n^2 - n - 3 = y^3 (2)

Trước tiên, ta giải phương trình (1). Ta thấy rằng n + 2 phải là số lập phương, do đó ta có thể giả sử n + 2 = a^3, với a là một số nguyên dương. Từ đó, ta có n = a^3 - 2.

Thay n = a^3 - 2 vào phương trình (2), ta được:

(a^3 - 2)^2 - (a^3 - 2) - 3 = y^3
a^6 - 4a^3 + 4 - a^3 + 2 - 3 = y^3
a^6 - 5a^3 + 3 = y^3

Đây là một phương trình tương tự phương trình (1), với a^6 thay vì n. Do đó, ta có thể giả sử a^6 = b^3, với b là một số nguyên dương. Từ đó, ta có a = b^2.

Thay a = b^2 vào phương trình a^3 - 2 = n, ta được:

b^6 - 2 = n

Vậy, tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện trên là các số có dạng b^6 - 2, với b là một số nguyên dương.