Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật

Để chứng minh EFGH là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau và các góc trong của nó bằng nhau.

Đầu tiên, ta chứng minh cặp cạnh đối diện EF và GH bằng nhau.

Do tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại một điểm trên đường chéo AC, ta có:

Góc EAC = Góc EAD (do tia phân giác)

Góc GDA = Góc GDC (do tia phân giác)

Vì góc EAD = góc GDC (do cùng là góc phân giác của góc ACD), nên ta có:

Góc EAC = Góc GDA

Tương tự, ta có:

Góc ECA = Góc GDA (do tia phân giác)

Góc GCD = Góc GDC (do tia phân giác)

Vì góc ECA = góc GCD (do cùng là góc phân giác của góc ACD), nên ta có:

Góc ECA = Góc GCD

Từ hai phương trình trên, ta có:

Góc EAC = Góc ECA

Góc GDA = Góc GCD

Vậy ta có:

Góc EAC = Góc ECA = Góc GDA = Góc GCD

Do đó, tam giác AEC và tam giác GCD là hai tam giác đồng dạng (có cùng các góc bằng nhau).

Từ đó, ta có:

AC/EC = GD/CD (do tam giác AEC và tam giác GCD đồng dạng)

AC/EC = GD/CD = GH/EF (do cùng là góc phân giác của góc ACD)

Từ đó, ta có:

AC/EC = GH/EF

AC * EF = EC * GH

Vậy EF = GH

Tương tự, ta có thể chứng minh cặp cạnh đối diện EG và FH bằng nhau.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng EFGH là hình chữ nhật.