a) Ta có MH vuông góc với AB, và OM là đường phân giác của góc AMB, nên ta có:
AM = MB (đường kính AB)
OM = OM (chung)
MH = MH (chung)
=> Tam giác AMB đồng dạng với tam giác OMB (theo góc - cạnh - góc)
=> AMB vuông tại M.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AMB, ta có:
AB^2 = AM^2 + MB^2
AB^2 = 3^2 + 4^2
AB^2 = 9 + 16
AB^2 = 25
AB = 5 cm

Vì MH vuông góc với AB, nên ta có:
MH^2 + AH^2 = AB^2
MH^2 + (MA - AH)^2 = AB^2
MH^2 + (3 - AH)^2 = 5^2
MH^2 + 9 - 6AH + AH^2 = 25
MH^2 + AH^2 - 6AH + 9 - 25 = 0
MH^2 + AH^2 - 6AH - 16 = 0

Vì MH là đường cao của tam giác AMB, nên ta có:
AH = 2 * MH
=> MH^2 + (2MH)^2 - 6(2MH) - 16 = 0
MH^2 + 4MH^2 - 12MH - 16 = 0
5MH^2 - 12MH - 16 = 0

Giải phương trình trên, ta được MH ≈ 2.56 cm.

b) Ta có:
∠CAB = ∠CMB (cùng nằm trên cung CB)
∠CAN = ∠CMN (cùng nằm trên cung CN)
=> ∠CAN = ∠CMB
=> ∠CAN = ∠CAB (cùng nằm trên cung CB)
=> ∠CAN = ∠CAB = 90° (do AB là đường kính)
=> AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

Vì N là trung điểm của AC, nên NA = NC.
Ta có:
∠NAB = ∠NCB (cùng nằm trên cung CB)
∠NAM = ∠NCM (cùng nằm trên cung CM)
=> ∠NAM = ∠NCB
=> ∠NAM = ∠NAB (cùng nằm trên cung AB)
=> ∠NAM = ∠NAB = 90° (do AB là đường kính)
=> NM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N.

c) Gọi ∠NBD = α.
Ta có:
∠NBD = ∠NAB (cùng nằm trên cung AB)
∠NBD = ∠NAM (cùng nằm trên cung AM)
=> ∠NAB = ∠NAM
=> ∠NAB = ∠NBD
=> ∠NBD = ∠NAB = 90° (do AB là đường kính)
=> BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

Vì BD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, nên OB vuông góc với BD.
Vì NA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, nên OA vuông góc với NA.
=> ∠OAB = ∠OBD = 90°
=> ∠OAB + ∠OBD = 180°
=> ∠ABD = 180° - ∠OAB - ∠OBD = 180° - 90° - 90° = 0°
=> A, B, D thẳng hàng.

Vì A, B, D thẳng hàng, nên ta có:
AD = AB + BD = AB + AB = 2AB = 2R (với R là bán kính đường tròn (O))
=> NA.BD = R^2 (với R là bán kính đường tròn (O))