Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho BM > MC và M khác nhau C. Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các cạnh AB và AC

1) Ta có AM là đường cao của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC. Mà N là hình chiếu vuông góc của M lên AB, nên NM vuông góc với AB. Vậy tứ giác ADMN là hình chữ nhật.

2) Gọi P' là điểm đối của P qua N. Ta cần chứng minh AP' || ND.

Vì NM = NP, nên tam giác NMP là tam giác cân tại N. Mà N là hình chiếu vuông góc của M lên AB, nên NM vuông góc với AB. Vậy NM là đường phân giác của góc MNP.

Do đó, góc MNP = góc NMP = góc NMD.

Mà ADMN là hình chữ nhật, nên góc NMD = góc ADM = góc ADN.

Vậy góc MNP = góc ADN.

Ta có góc ADN = góc NMP = góc P'ND.

Vậy góc ADN = góc P'ND.

Do đó, AP' || ND.

Từ đó suy ra tứ giác AP'ND là hình bình hành.

3) Gọi Q' là điểm đối của Q qua O. Ta cần chứng minh QM = Q'M và AQN = ADN.

Vì NM = NP, nên tam giác NMP là tam giác cân tại N. Mà N là hình chiếu vuông góc của M lên AB, nên NM vuông góc với AB. Vậy NM là đường phân giác của góc MNP.

Do đó, góc MNP = góc NMP = góc NMQ'.

Mà ADMN là hình chữ nhật, nên góc NMQ' = góc MQ'N = góc MQ'N.

Vậy góc MNP = góc MQ'N.

Ta có góc MQ'N = góc NMP = góc P'ND.

Vậy góc MQ'N = góc P'ND.

Do đó, Q'M || ND.

Vậy Q' là trung điểm của đoạn thẳng QM.

Từ đó suy ra QM = Q'M.

Vì tứ giác AP'ND là hình bình hành, nên góc AQ'N = góc ADN.

Vậy AQN = ADN.

Từ đó suy ra AQN = ADN.

Vậy O là trung điểm của đoạn thẳng QM và AQN = ADN.