Cho tam giác ABC vuông tại. Gọi M là trung điểm của AC, trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB

Để chứng minh AD = BC, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và định lí cân.

Gọi G là trung điểm của AB. Ta có AG = GB (vì G là trung điểm của AB).

Vì tam giác ABC vuông tại C, ta có AC² = AB² + BC² (định lí Pythagoras).

Vì tam giác ABC vuông tại C và M là trung điểm của AC, ta có AM = MC (định lí cân).

Vì MD = MB, ta có MD = MG + GB (vì G là trung điểm của AB).

Áp dụng định lí cân trong tam giác MGB, ta có MG = GB.

Do đó, MD = MG + GB = 2GB.

Vậy, ta có AM = MC = AC/2 và MD = 2GB.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác AMD, ta có:

AD² = AM² + MD² = (AC/2)² + (2GB)² = AC²/4 + 4GB².

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác BGC, ta có:

BC² = BG² + GC² = GB² + GC².

Vì GB = GC (vì G là trung điểm của AB), ta có BC² = 2GB².

Do đó, AD² = AC²/4 + 4GB² = AC²/4 + 2BC²/2 = AC²/4 + BC²/2.

Ta cần chứng minh AD = BC, tức là cần chứng minh AD² = BC².

Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh AC²/4 + BC²/2 = BC².

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác ABC, ta có:

AC² = AB² + BC².

Do đó, AC²/4 + BC²/2 = (AB² + BC²)/4 + BC²/2 = AB²/4 + BC²/4 + BC²/2 = (AB² + 3BC²)/4.

Vì AB = 2BC (vì G là trung điểm của AB), ta có AB² = 4BC².

Do đó, (AB² + 3BC²)/4 = (4BC² + 3BC²)/4 = 7BC²/4.

Vậy, ta có AC²/4 + BC²/2 = BC² nên AD = BC.

Vậy, ta đã chứng minh được AD = BC.