Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

Đầu tiên, giải phương trình \(2x^5 - 4x^2 + 2x = 0\):

Ta có thể rút chung \(2x\):

\[
2x(x^4 - 2x + 1) = 0
\]

Phương trình này có hai trường hợp:

1. \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
2. Giải phương trình \(x^4 - 2x + 1 = 0\)

Phương trình bậc 4 này có thể khá khó để giải bằng tay. Tuy nhiên, ta có thể thử các giá trị của \(x\) để thấy có phải có nghiệm là số hữu tỷ hay không.

Thử một vài giá trị:

- Khi \(x = 1\):

\[
1^4 - 2 \cdot 1 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ là nghiệm.}
\]

- Khi \(x = -1\):

\[
(-1)^4 - 2 \cdot (-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \Rightarrow x = -1 \text{ không phải nghiệm.}
\]

Bây giờ, ta sẽ phân tích bậc 4 bằng cách chia cho \((x - 1)\):

Dùng phương pháp chia đa thức, chia \(x^4 - 2x + 1\) cho \((x - 1)\):

Thương số là \(x^3 + x^2 + x + 1\).

Vậy ta có:

\[
x^4 - 2x + 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)
\]

Tiếp theo ta cần giải phương trình \(x^3 + x^2 + x + 1 = 0\).

Phương trình này có thể ứng dụng một số phương pháp như phương trình vi phân hoặc các chương trình máy tính để tìm nghiệm, nhưng để đơn giản có thể thử các giá trị thực để kiểm tra.

Tiếp theo là phương trình thứ hai: \(2x^2 + 3x - 5 = 0\).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} = \frac{{-3 \pm \sqrt{{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)}}}}{2 \cdot 2} = \frac{{-3 \pm \sqrt}}{4} = \frac{{-3 \pm \sqrt{49}}}{4} = \frac{{-3 \pm 7}}{4}
\]

Ta có hai nghiệm:

1. \(x = \frac{4}{4} = 1\)
2. \(x = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}\)

Tóm lại, các nghiệm của hệ phương trình là:

- Từ phương trình đầu tiên: \(x = 0; x = 1\) (có thể có các nghiệm phức từ phương trình bậc 4).
- Từ phương trình thứ hai: \(x = 1; x = -\frac{5}{2}\)

Vậy nghiệm chung của hai phương trình là \(x = 1\).