Để chứng minh AD = BC, ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và định lí cắt tỉa.

Gọi E là trung điểm của AB. Ta có ME = \(\frac{1}{2}\)MB và ME || BC (do E là trung điểm của AB và BC là đường cao của tam giác ABC).

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
\(\widehat{BAC} = 90^\circ\)
\(\widehat{BMC} = 90^\circ\) (do tam giác ABC vuông tại A)
\(\widehat{BME} = 90^\circ\) (do tam giác ABC vuông tại A)

Do đó, tứ giác BMEC là tứ giác nội tiếp trong đó \(\widehat{BME} = \widehat{BCE} = 90^\circ\).

Vì ME || BC nên ta có \(\widehat{BME} = \widehat{BCE}\), từ đó suy ra tứ giác BMEC là hình chữ nhật.

Vậy, ta có ME = BC.

Gọi F là trung điểm của CD. Ta có MF = \(\frac{1}{2}\)MD và MF || AD (do F là trung điểm của CD và AD là đường cao của tam giác AMD).

Vì tam giác AMD vuông tại A nên ta có:
\(\widehat{DAM} = 90^\circ\)
\(\widehat{DMC} = 90^\circ\) (do tam giác AMD vuông tại A)
\(\widehat{DMF} = 90^\circ\) (do tam giác AMD vuông tại A)

Do đó, tứ giác DMFC là tứ giác nội tiếp trong đó \(\widehat{DMF} = \widehat{DCF} = 90^\circ\).

Vì MF || AD nên ta có \(\widehat{DMF} = \widehat{DCF}\), từ đó suy ra tứ giác DMFC là hình chữ nhật.

Vậy, ta có MF = AD.

Từ hai quan sát trên, ta có ME = BC và MF = AD.

Vì ME = BC và MF = AD nên ta có ME + MF = BC + AD.

Tuy nhiên, ME + MF = EF (vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Do đó, EF = BC + AD.

Nhưng EF = AB (vì E là trung điểm của AB).

Vậy, ta có AB = BC + AD.

Từ đó suy ra AD = BC.

Vậy, ta đã chứng minh được AD = BC.