Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax, lấy điểm M thuộc (O) (M khác A, M khác B) sao cho MA > MB. Kẻ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến này cắt tia Ax tại E. Gọi F là giao điểm của EB với đường tròn (O). Chứng minh góc AFB = 90 độ và AE^2 = EF. EB

a) Ta có:
- Góc AFB là góc giữa tiếp tuyến Ax và tiếp tuyến tại M, do đó góc AFB = 90 độ.
- Ta có MA > MB và tiếp tuyến tại M cắt tia Ax tại E, suy ra AE > EB.
- Vì F là giao điểm của EB với đường tròn (O), nên EF là tiếp tuyến tại F.
- Do đó, ta có AE^2 = AM.AB (định lí tiếp tuyến) và EF^2 = EM.EB (định lí tiếp tuyến).
- Vì MA > MB, nên AM.AB > EM.EB, suy ra AE^2 > EF^2.
- Từ đó, ta có AE^2 - EF^2 > 0, hay AE^2 = EF^2 + EB^2.

b) Ta có:
- Góc AFB = 90 độ (chứng minh ở câu a).
- Góc AEO = góc AFB (cùng là góc giữa tiếp tuyến Ax và tiếp tuyến tại M).
- Vì góc AFB = 90 độ, nên góc AEO = 90 độ.
- Do đó, EO // MB (vì góc AEO = góc MBO = 90 độ).

c) Ta có:
- Gọi D là trung điểm của dây AF. Khi đó, AD là đường cao của tam giác AEF.
- Vì góc AFB = 90 độ (chứng minh ở câu a), nên góc AEF = góc ADF = 90 độ.
- Do đó, tam giác AEF và tam giác ADF đồng dạng.
- Từ đó, ta có AE/AD = AF/AF (đồng dạng tam giác) và EF/DF = AF/AF (đồng dạng tam giác).
- Kết hợp với AE^2 = EF^2 + EB^2 (chứng minh ở câu a), ta có:
AE/AD = EF/DF và AE^2 = EF^2 + EB^2.
- Từ đó, ta có EH.EO = EF.EB (do AE/AD = EF/DF) và góc EHF = góc ADF = góc AOD (do tam giác AEF và tam giác ADF đồng dạng).