Dãy số (un) với un = 1/n^2 có giới hạn bằng 0 vì khi n tiến đến vô cùng, giá trị của un tiến dần đến 0.

Để chứng minh điều này, ta sử dụng định nghĩa giới hạn của dãy số.

Theo định nghĩa, dãy số (un) có giới hạn bằng 0 nếu với mọi số dương ε, ta có thể tìm được một số tự nhiên N sao cho nếu n > N, thì |un - 0| < ε.

Trong trường hợp này, ta chọn ε = 1/k, với k là một số tự nhiên dương bất kỳ.

Khi đó, ta cần tìm một số tự nhiên N sao cho nếu n > N, thì |un - 0| < 1/k.

Ta có un = 1/n^2, vì vậy |un - 0| = 1/n^2.

Để |un - 0| < 1/k, ta cần 1/n^2 < 1/k, hay n^2 > k.

Vì n^2 là một số tự nhiên, ta có thể chọn N = √k.

Khi đó, nếu n > N = √k, thì n^2 > k, và vì vậy |un - 0| = 1/n^2 < 1/k.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng với mọi số dương ε, ta có thể tìm được một số tự nhiên N sao cho nếu n > N, thì |un - 0| < ε.

Do đó, dãy số (un) có giới hạn bằng 0.