Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C. Kẻ Cx // Ab và tia By// AC. Tia Cx cắt tia By tại D. Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?

1. Tứ giác ABDC là hình chữ nhật. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Tia Cx//AB và tia By//AC, nên tam giác ABC và tam giác BCD tương đồng. Do đó, góc BCD = góc BAC = 90 độ. Tứ giác ABDC có 4 góc vuông, nên là hình chữ nhật.

2. Ta có M là điểm đối xứng của D qua C, nên CM đi qua trung điểm của DD'. Gọi I là giao điểm của AC và BM, ta có AI cắt BM tại O. Vì M là điểm đối xứng của D qua C, nên CM đi qua trung điểm của DD'. Do đó, OM//CD và OM = 1/2CD. Tứ giác ABCM là hình bình hành vì cạnh AB // CM và AM = BC.

3. AC cắt OM tại N. Ta có ON//CD (do ON và CD đều song song với BM) và ON = 1/2CD (do OM = 1/2CD). Diện tích ONC = 1/2 * ON * OC = 1/2 * 1/2CD * OC = 1/4 * CD * OC. Diện tích BDC = 1/2 * BD * DC. Vì BD = BC (do tứ giác ABDC là hình chữ nhật) và OC = BC (do OC và BC là cạnh của hình bình hành ABCM), nên diện tích ONC/diện tích BDC = (1/4 * CD * OC)/(1/2 * BD * DC) = (1/4 * CD * BC)/(1/2 * BC * DC) = 1/2 * CD/DC = 1/6.