Chứng minh rằng D, M, F thẳng hàng

a) Ta có AE = BF và EC = CF (vì ABCD là hình vuông), nên tam giác AEC và tam giác BFC là hai tam giác cân. Do đó, ta có góc AEC = góc BFC.

Vì DM vuông góc với EC, nên góc AED = góc BFD (góc giữa đường thẳng và một đường vuông góc với nó).

Từ đó, ta có góc AED + góc AEC = góc BFD + góc BFC.

Nhưng góc AEC = góc BFC, nên góc AED = góc BFD.

Vậy, ta có D, M, F thẳng hàng.

b) Ta có AE = BE, nên tam giác ABE là tam giác cân.

Vì ABCD là hình vuông, nên góc ABD = góc ADB = 45 độ.

Vì tam giác ABE là tam giác cân, nên góc BAE = góc BEA = (180 - góc ABE)/2 = (180 - 45)/2 = 67.5 độ.

Vậy, góc BMD = góc BAE = 67.5 độ.

c) Để tìm vị trí của E để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của E sao cho đường thẳng DM cắt đường thẳng AB.

Gọi H là giao điểm của DM và AB. Ta cần tìm vị trí của E sao cho diện tích tam giác DHE nhỏ nhất.

Vì DM vuông góc với EC, nên góc EHD = góc ECD = 45 độ.

Vì tam giác DHE là tam giác vuông, nên góc DHE = 90 - góc EHD = 90 - 45 = 45 độ.

Vậy, để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, ta cần chọn E sao cho góc DHE = 45 độ.