a) Để chứng minh AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh góc OAB và góc OAC đều bằng 90 độ.

Vì OA = 3R và OB là đường kính của đường tròn đường kính OA, nên OB = OA/2 = 3R/2. Vậy tam giác OAB là tam giác vuông tại A.

Tương tự, ta có tam giác OAC là tam giác vuông tại A.

Vậy AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Để tính tan góc BOA, ta cần biết giá trị của góc BOA.

Gọi góc BOA là α.

Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại A, nên tan α = AB/OA.

Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại A, nên sin α = OA/AB.

Từ hai phương trình trên, ta có:

tan α = AB/OA = AB/(3R)

sin α = OA/AB = 3R/AB

Vậy tan α = sin α * 3R/AB = 3R/AB

Để tính giá trị của tan α, ta cần biết giá trị của AB.

Gọi M là trung điểm của OB.

Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại A, nên AM là đường trung bình của tam giác vuông OAB.

Vậy AM = MB = OB/2 = 3R/4.

Vì tam giác OAM là tam giác vuông tại A, nên sin α = OA/AM = 3R/(3R/4) = 4.

Vậy tan α = 3R/AB = 4.

Từ đó, ta có AB = 3R/4.

Vậy tan α = 3R/(3R/4) = 4.

Suy ra, số đo góc BOA là arctan(4).

Hình vẽ:
```
C
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A-------------B
(O)
```