Cho tam giác ABC= tam giác MNP

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý cạnh và định lý hình chiếu trong tam giác.

Định lý cạnh: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Định lý hình chiếu: Trong một tam giác vuông, hình chiếu của cạnh nhỏ nhất lên cạnh lớn nhất có độ dài nhỏ hơn độ dài cạnh lớn nhất.

Với AB + BC = 7cm, ta có thể suy ra AB < 7cm và BC < 7cm.

Với MN - NP = 3cm, ta có thể suy ra MN > NP và MN - NP = 3cm.

Với MP = 4cm, ta có thể suy ra MP < 4cm.

Vì AB < 7cm và BC < 7cm, ta có thể giả định AB = x và BC = 7 - x (với 0 < x < 7).

Vì MN > NP và MN - NP = 3cm, ta có thể giả định MN = y và NP = y - 3 (với y > 3).

Vì MP < 4cm, ta có thể giả định MP = z (với 0 < z < 4).

Áp dụng định lý cạnh vào tam giác ABC, ta có:

AB + BC > AC
x + (7 - x) > AC
7 > AC

Áp dụng định lý cạnh vào tam giác MNP, ta có:

MN + NP > MP
y + (y - 3) > z
2y - 3 > z

Áp dụng định lý hình chiếu vào tam giác ABC, ta có:

AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = x^2 + (7 - x)^2
AC^2 = x^2 + 49 - 14x + x^2
AC^2 = 2x^2 - 14x + 49

Áp dụng định lý hình chiếu vào tam giác MNP, ta có:

MP^2 = MN^2 + NP^2
z^2 = y^2 + (y - 3)^2
z^2 = y^2 + y^2 - 6y + 9
z^2 = 2y^2 - 6y + 9

Từ các giả định trên, ta có hệ phương trình:

2x^2 - 14x + 49 = 2y^2 - 6y + 9
2x^2 - 14x + 40 = 2y^2 - 6y

Từ MP = 4cm, ta có:

z = 4
2y^2 - 6y + 9 = 16
2y^2 - 6y - 7 = 0

Giải phương trình trên, ta được y = 3 hoặc y = -1/2. Vì y > 3, nên ta chọn y = 3.

Thay y = 3 vào hệ phương trình, ta có:

2x^2 - 14x + 40 = 0
x^2 - 7x + 20 = 0
(x - 5)(x - 4) = 0

Giải phương trình trên, ta được x = 5 hoặc x = 4.

Vậy, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: AB = 5cm, BC = 2cm, AC = 7cm, MN = 3cm, NP = 0cm, MP = 4cm.
Trường hợp 2: AB = 4cm, BC = 3cm, AC = 7cm, MN = 3cm, NP = 0cm, MP = 4cm.

Vậy, độ dài các cạnh của mỗi tam giác là:

Trường hợp 1: AB = 5cm, BC = 2cm, AC = 7cm.
Trường hợp 2: AB = 4cm, BC = 3cm, AC = 7cm.