Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt (O) tại M( khác A).Kẻ tiếp tuyến AK của đường tròn (M;MB), K là tiếp điểm

Để chứng minh DK vuông góc AM, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

Gọi N là trung điểm của cung BC không chứa A. Ta có:
∠BAC = ∠BNC (cung cùng nửa)
∠BMC = ∠BNC (cung cùng nửa)
∠BAC = ∠BMC (hai góc ở chung cung)
⇒ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BMC (theo góc)

Do đó, ta có:
∠MBC = ∠BAC (đồng dạng)
∠MBA = ∠BCA (đồng dạng)
⇒ Tam giác MBA đồng dạng với tam giác BCA (theo góc)

Từ đó, ta có:
∠MAB = ∠ACB (đồng dạng)
⇒ ∠MAB = ∠ADB (cùng nằm trên cùng một cạnh)

Vậy, ta có:
∠MAB = ∠ADB
⇒ ∠MAB + ∠ADB = 180°
⇒ ∠MAD = 180° - ∠MAB - ∠ADB
⇒ ∠MAD = ∠ACB

Như vậy, ta có:
∠MAD = ∠ACB
⇒ ∠MAD = ∠KDB (cùng nằm trên cùng một cạnh)
⇒ ∠MAD = ∠KDB
⇒ DK vuông góc AM

Vậy, ta đã chứng minh DK vuông góc AM.