Để chứng minh các điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng các đẳng thức và tính chất của tam giác.

Ta có:
- Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên AB/AC = BD/DC (đẳng thức phân giác).
- Vì AE = AB nên AB/AC = AE/EC (đẳng thức phân giác).
Từ hai đẳng thức trên, ta có BD/DC = AE/EC.

- Vì AF = AC nên AB/AC = BF/FC (đẳng thức phân giác).
- Vì AE = AB nên AB/AC = AE/EC (đẳng thức phân giác).
Từ hai đẳng thức trên, ta có BF/FC = AE/EC.

Vậy ta có:
BD/DC = AE/EC và BF/FC = AE/EC.

Do đó, ta có BD/DC = BF/FC.

- Ta có AB/AC = BD/DC = BF/FC.
- Ta có AE = AB = AF.
- Ta có AC = AF.

Vậy ta có tam giác AEF là tam giác đều.

- Vì AE = AB nên tam giác ABE là tam giác cân.
- Vì AE = AF nên tam giác AFE là tam giác cân.

Vậy ta có tam giác ABE và tam giác AFE là tam giác cân.

- Vì tam giác ABE là tam giác cân nên BE là đường trung bình của tam giác ABC.
- Vì tam giác AFE là tam giác cân nên FE là đường trung bình của tam giác AFC.

Vậy ta có BE là đường trung bình của tam giác ABC và FE là đường trung bình của tam giác AFC.

- Vì tam giác ABC là tam giác cân nên BD là đường cao của tam giác ABC.
- Vì tam giác AFC là tam giác cân nên FC là đường cao của tam giác AFC.

Vậy ta có BD là đường cao của tam giác ABC và FC là đường cao của tam giác AFC.

- Vì tam giác ABC là tam giác cân nên BD là đường phân giác của góc BAC.
- Vì tam giác AFC là tam giác cân nên FC là đường phân giác của góc BAC.

Vậy ta có BD là đường phân giác của góc BAC và FC là đường phân giác của góc BAC.

- Vì tam giác AEF là tam giác đều nên AD vuông góc với EF.
- Vì tam giác AFE là tam giác cân nên AD vuông góc với FE.

Vậy ta có AD vuông góc với EF.

Từ các điều trên, ta có thể kết luận rằng:
- BD = ED.
- BF = EC.
- Tam giác BDF bằng tam giác EDC.
- AD vuông góc với FC.