Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = -x² - 4xy + 5y² + 2x - 4y + 2024

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = -x^2 - 4xy + 5y^2 + 2x - 4y + 2024 \), ta có thể thực hiện một số bước sau:

1. **Nhóm các biến lại**: Ta có thể nhóm và viết lại biểu thức theo biến \( x \) và \( y \).

2. **Sử dụng giải tích để tìm cực trị**: Tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \) và đặt chúng bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

\[
\frac{\partial A}{\partial x} = -2x - 4y + 2 = 0
\]
\[
\frac{\partial A}{\partial y} = -4x + 10y - 4 = 0
\]

3. **Giải hệ phương trình**: Từ hai phương trình trên, ta sẽ tìm được các giá trị của \( x \) và \( y \).

4. **Tính giá trị của \( A \)**: Sau khi tìm được \( x \) và \( y \), thay vào biểu thức \( A \) để tính giá trị cực tiểu.

Tuy nhiên, làm từng bước cụ thể sẽ mang lại kết quả chính xác hơn. Hãy thực hiện từng bước một…

**Tính Đạo Hàm**:

1. Đạo hàm theo \( x \):
\[
-2x - 4y + 2 = 0 \implies 2x + 4y = 2 \implies x + 2y = 1 \quad \text{(1)}
\]

2. Đạo hàm theo \( y \):
\[
-4x + 10y - 4 = 0 \implies 4x = 10y - 4 \implies x = \frac{10y - 4}{4} = \frac{5y - 2}{2} \quad \text{(2)}
\]

**Giải hệ phương trình (1) và (2)**:
Thay (2) vào (1):

\[
\frac{5y - 2}{2} + 2y = 1
\]
\[
\frac{5y - 2 + 4y}{2} = 1 \implies 9y - 2 = 2 \implies 9y = 4 \implies y = \frac{4}{9}
\]

Thay \( y \) vào (1) để tìm \( x \):

\[
x + 2 \cdot \frac{4}{9} = 1 \implies x + \frac{8}{9} = 1 \implies x = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}
\]

Tóm lại, ta có:
\[
x = \frac{1}{9}, \quad y = \frac{4}{9}
\]

**Tính giá trị của A**:
Thay \( x \) và \( y \) vào \( A \):

\[
A = -\left(\frac{1}{9}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{9}\right) \cdot \left(\frac{4}{9}\right) + 5 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{9} - 4 \cdot \frac{4}{9} + 2024
\]

Tính từng phần:

\[
-\frac{1}{81} - \frac{16}{81} + \frac{80}{81} + \frac{2}{9} - \frac{16}{9} + 2024
\]

\[
=-\frac{17}{81} + \frac{18}{81} - \frac{144}{81} + 2024 = \frac{-143}{81} + 2024
\]

Cộng lại và tính giá trị cuối cùng.

**Giá trị nhỏ nhất của A là** \( \approx 2023.23 \).