Cho tam giác ABC, có đường cao AH (H thuộc BC)

Để chứng minh a), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông.

Vì góc ABD = góc ACE = 90 độ và AB = BD, AC = CE, nên tam giác ABD và tam giác ACE là các tam giác vuông cân.

Vì vậy, ta có:
- Góc ADB = góc ABD = 90 độ
- Góc AEC = góc ACE = 90 độ

Do đó, tam giác ADB và tam giác AEC là các tam giác vuông.

Vì góc ADB = góc ABD = 90 độ, nên góc ADB + góc ABD = 180 độ. Vậy tam giác ADB là tam giác vuông cân.

Vì góc AEC = góc ACE = 90 độ, nên góc AEC + góc ACE = 180 độ. Vậy tam giác AEC là tam giác vuông cân.

Vì vậy, ta có:
- Góc ADB = góc ABD = 90 độ
- Góc AEC = góc ACE = 90 độ
- AB = BD
- AC = CE

Do đó, tam giác ADB và tam giác AEC là hai tam giác vuông cân đồng dạng.

Vì vậy, ta có:
- Tam giác IDB đồng dạng với tam giác HBA
- Tam giác HAC đồng dạng với tam giác KCE

Vì tam giác IDB đồng dạng với tam giác HBA, nên ta có:
- Góc IDB = góc HBA
- Góc BID = góc BHA

Vì tam giác HAC đồng dạng với tam giác KCE, nên ta có:
- Góc HAC = góc KCE
- Góc AHC = góc KEC

Vì góc AHC = góc BHA (do cùng là góc nhọn), nên ta có:
- Góc AHC = góc BHA
- Góc HAC = góc AHB

Từ đó, ta có:
- Góc IDB = góc HBA = góc AHC = góc BHA
- Góc BID = góc BHA = góc AHB

Vậy tam giác IDB = tam giác HBA.

Để chứng minh b), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông.

Vì góc ABD = góc ACE = 90 độ và AB = BD, AC = CE, nên tam giác ABD và tam giác ACE là các tam giác vuông cân.

Vì vậy, ta có:
- Góc ADB = góc ABD = 90 độ
- Góc AEC = góc ACE = 90 độ

Do đó, tam giác ADB và tam giác AEC là các tam giác vuông.

Vì góc ADB = góc ABD = 90 độ, nên góc ADB + góc ABD = 180 độ. Vậy tam giác ADB là tam giác vuông cân.

Vì góc AEC = góc ACE = 90 độ, nên góc AEC + góc ACE = 180 độ. Vậy tam giác AEC là tam giác vuông cân.

Vì vậy, ta có:
- Góc ADB = góc ABD = 90 độ
- Góc AEC = góc ACE = 90 độ
- AB = BD
- AC = CE

Do đó, tam giác ADB và tam giác AEC là hai tam giác vuông cân đồng dạng.

Vì vậy, ta có:
- Tam giác IDB đồng dạng với tam giác HBA
- Tam giác HAC đồng dạng với tam giác KCE

Vì tam giác HAC đồng dạng với tam giác KCE, nên ta có:
- Góc HAC = góc KCE
- Góc AHC = góc KEC

Vì góc AHC = góc BHA (do cùng là góc nhọn), nên ta có:
- Góc AHC = góc BHA
- Góc HAC = góc AHB

Từ đó, ta có:
- Góc HAC = góc KCE = góc AHB
- Góc AHC = góc KEC = góc BHA

Vậy tam giác HAC = tam giác KCE.

Để chứng minh c), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông.

Vì góc ABD = góc ACE = 90 độ và AB = BD, AC = CE, nên tam giác ABD và tam giác ACE là các tam giác vuông cân.

Vì vậy, ta có:
- Góc ADB = góc ABD = 90 độ
- Góc AEC = góc ACE = 90 độ

Do đó, tam giác ADB và tam giác AEC là các tam giác vuông.

Vì góc ADB = góc ABD = 90 độ, nên góc ADB + góc ABD = 180 độ. Vậy tam giác ADB là tam giác vuông cân.

Vì góc AEC = góc ACE = 90 độ, nên góc AEC + góc ACE = 180 độ. Vậy tam giác AEC là tam giác vuông cân.

Vì vậy, ta có:
- Góc ADB = góc ABD = 90 độ
- Góc AEC = góc ACE = 90 độ
- AB = BD
- AC = CE

Do đó, tam giác ADB và tam giác AEC là hai tam giác vuông cân đồng dạng.

Vì vậy, ta có:
- Tam giác IDB đồng dạng với tam giác HBA
- Tam giác HAC đồng dạng với tam giác KCE

Vì tam giác IDB đồng dạng với tam giác HBA, nên ta có:
- ID/DB = HB/BA
- ID/BD = HB/AB

Vì tam giác HAC đồng dạng với tam giác KCE, nên ta có:
- HA/AC = KC/CE
- HA/CA = KC/EC

Vì AB = BD, AC = CE, nên ta có:
- AB/BD = AC/CE
- AB/AB = AC/AC

Từ đó, ta có:
- ID/BD = HB/AB = HB/BD
- HA/CA = KC/EC = KC/CA

Vậy, ta có:
- ID/BD = HB/BD
- HA/CA = KC/CA

Do đó, ta có:
- ID = HB
- HA = KC

Vậy BI = CK.