Cho tam giác ABC nhọn, có cạnh AB cố định. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của AE và BD. Tia CH cắt AB tại K

a) Ta có:
$\angle CDE = \angle CBA$ (cùng nằm trên cùng một cung AB)
$\angle CED = \angle CAB$ (cùng nằm trên cùng một cung AB)
Do đó, $\angle CDE + \angle CED = \angle CBA + \angle CAB = 180^\circ$
Vậy bốn điểm C, D, E, H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có:
$\angle CDE = \angle CBA$ (cùng nằm trên cùng một cung AB)
$\angle CED = \angle CAB$ (cùng nằm trên cùng một cung AB)
Do đó, $\angle CDE + \angle CED = \angle CBA + \angle CAB = 180^\circ$
Vậy tứ giác CDEH là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác CDEH, ta có:
$CD \cdot EH + DE \cdot CH = CE \cdot DH$
Vì tứ giác CDEH là tứ giác nội tiếp, nên $DH = EH$
Vậy $CD \cdot EH + DE \cdot CH = CE \cdot EH$
Simplifying, ta có:
$CD \cdot EH + DE \cdot CH = CE \cdot EH$
$CD \cdot EH = CE \cdot EH - DE \cdot CH$
$CD \cdot EH = EH \cdot (CE - DE)$
$CD = CE - DE$
$CD = CE - (CE - CH)$
$CD = CH$
Tương tự, ta có $CE = CK$
Vậy $CD = CH = CK$
Do đó, $CD \cdot CA = CH \cdot CK$ và $CE \cdot CB = CH \cdot CK$
Vậy $CD \cdot CA = CE \cdot CB = CH \cdot CK$

c) Ta có:
$\angle CMD = \angle CHD$ (cùng nằm trên cùng một cung HD)
$\angle CDM = \angle CDH$ (cùng nằm trên cùng một cung HD)
Do đó, $\angle CMD + \angle CDM = \angle CHD + \angle CDH = 180^\circ$
Vậy tứ giác CMDH là tứ giác nội tiếp.
Tương tự, ta có tứ giác CMEH là tứ giác nội tiếp.
Vậy $MD$ và $ME$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

d) Ta có:
$\angle MDO = \angle MCD$ (cùng nằm trên cùng một cung MC)
$\angle MEO = \angle MCE$ (cùng nằm trên cùng một cung MC)
Do đó, $\angle MDO + \angle MEO = \angle MCD + \angle MCE = 180^\circ$
Vậy $MO$ là đường phân giác của góc $\angle DME$.
Vì $MD$ và $ME$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$, nên $MO$ vuông góc với $DE$.