Để chứng minh rằng 8n+3 là hợp số, ta cần chứng minh rằng n không thể là số nguyên tố.

Giả sử n là số nguyên tố, tức là n không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 1 và chính nó.

Vì 2n+1 là số chính phương, nên ta có: 2n+1 = m^2, với m là số nguyên.

Từ đó, ta có: 2n = m^2 - 1 = (m+1)(m-1).

Vì n là số nguyên tố, nên n không chia hết cho 2. Do đó, m+1 và m-1 không thể cùng chia hết cho 2.

Nếu m+1 chia hết cho 2, thì m-1 không chia hết cho 2. Từ đó, ta có thể viết m+1 = 2k, với k là số nguyên.

Thay vào biểu thức 2n = (m+1)(m-1), ta có: 2n = 2k * (2k-2) = 4k(k-1).

Do n không chia hết cho 2, nên k(k-1) không chia hết cho 2.

Vì k(k-1) chia hết cho 4, nên n chia hết cho 4.

Từ đó, ta có: 24n+1 = 24 * 4k + 1 = 96k + 1 = p^2, với p là số nguyên.

Tuy nhiên, p^2 không thể là số chẵn, nên 96k + 1 không thể là số chính phương.

Vậy giả sử n là số nguyên tố là sai.

Do đó, n không phải là số nguyên tố và 8n+3 là hợp số.