Từ điểm A nằm ngoài (O;R) vẽ tiếp tuyến AB,AC với (O) (B,C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC

a) Ta có:
- AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc AOB = 90° (1)
- OA là đường phân giác góc BOC (vì AB, AC là tiếp tuyến nên OB, OC là đường phân giác của góc BAC) nên góc BOC = 2 * góc BAC = 2 * góc BOA (2)
Từ (1) và (2), ta có góc AOB = góc BOC, suy ra OA vuông góc với BC.

b) Ta có:
- Gọi D là giao điểm của đường thẳng AD và BC.
- Ta có góc BOC = 2 * góc BAC = 2 * góc BDC (vì AB, AC là tiếp tuyến nên OB, OC là đường phân giác của góc BAC và BD, CD là đường phân giác của góc BDC).
- Do đó, góc BOC = góc BDC, suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Khi đó, ta có góc BDC = góc BAC = góc BAE (vì AB, AC là tiếp tuyến nên OB, OC là đường phân giác của góc BAC và AE là đường phân giác của góc BAE).
- Suy ra, góc BDC = góc BAE, nên tam giác BDC đồng dạng với tam giác BAE.
- Từ đó, ta có: AH/AE = AD/BD (vì AH là đường phân giác của góc BAC và AD, BD là đường phân giác của góc BDC).
- Nhân cả hai vế của phương trình trên với AE, ta có: AH.AE = AD.BD.

c) Ta có:
- Đường thẳng OF là đường thẳng vuông góc với DE tại F (vì O là tâm đường tròn nên OF là đường phân giác của góc DOA, và DE là tiếp tuyến của đường tròn nên góc DOA = 90°).
- Gọi K là giao điểm của OF và BC.
- Ta có góc BOC = 2 * góc BAC = 2 * góc BKC (vì AB, AC là tiếp tuyến nên OB, OC là đường phân giác của góc BAC và BK, CK là đường phân giác của góc BKC).
- Do đó, góc BOC = góc BKC, suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).