Để tìm phương án tiêu dùng tối ưu, ta cần tìm cách phân chia số tiền chi tiêu sao cho tổng hữu dụng đạt giá trị lớn nhất.

Gọi số lượng sản phẩm X và Y mà người đó mua lần lượt là x và y.

Theo đề bài, giá của sản phẩm X là 10 đồng 1 sản phẩm và giá của sản phẩm Y là 30 đồng 1 sản phẩm.

Với số lượng sản phẩm X và Y như vậy, tổng số tiền chi tiêu là: 10x + 30y = 600.

Ta có thể viết lại phương trình trên thành: x + 3y = 60.

Hàm tổng là lợi ích (hữu dụng) là TU = 2xy.

Để tìm phương án tiêu dùng tối ưu, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm tổng TU = 2xy.

Ta có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp đại số.

Sử dụng phương pháp đại số, ta có thể giải hệ phương trình bằng cách thay x = 60 - 3y vào hàm tổng TU = 2xy.

Ta có: TU = 2(60 - 3y)y = 120y - 6y^2.

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm tổng TU, ta có thể sử dụng đạo hàm.

Đạo hàm của hàm tổng TU theo y là: d(TU)/dy = 120 - 12y.

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm tổng TU, ta giải phương trình d(TU)/dy = 0.

120 - 12y = 0.

12y = 120.

y = 10.

Thay y = 10 vào phương trình x + 3y = 60, ta có: x + 3(10) = 60.

x + 30 = 60.

x = 30.

Vậy, phương án tiêu dùng tối ưu là mua 30 sản phẩm X và 10 sản phẩm Y.

Tổng hữu dụng đạt giá trị lớn nhất khi số lượng sản phẩm X và Y như vậy là: TU = 2xy = 2(30)(10) = 600.