Cho tam giác ABC vuông tại A có AB bé hơn AC và M là trung điểm của BC

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chiếu và hình bình hành.

a) Ta có NP là đường cao của tam giác ABC, do đó I là trung điểm của NP. Vì M là trung điểm của BC, nên ta có MN song song với BC và NP. Từ đó, ta có AM là đường trung bình của tam giác ANP, suy ra AM vuông góc với NP. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM cũng vuông góc với BC. Do đó, tứ giác ANMP là hình chữ nhật.

b) Ta có BM là đường cao của tam giác ABC, do đó E là hình chiếu của P lên BM. Vì BM = PE, nên tam giác BME là tam giác cân tại E. Từ đó, ta có BE song song với MA (vì BE là hình chiếu của MA lên BM) và BE = MA (vì BM = PE). Do đó, tứ giác ABME là hình bình hành.

c) Ta có BE song song với MA và BE = MA (từ phần b). Vì MN song song với BC, nên ta có g là hình chiếu của B lên MN. Từ đó, ta có BG song song với MN và BG = MN (vì g là hình chiếu của B lên MN). Do đó, tứ giác BGMN là hình bình hành. Tương tự, ta có AF song song với MN và AF = MN (vì F là hình chiếu của A lên MN). Do đó, tứ giác AFMN cũng là hình bình hành.

Vì tứ giác BGMN là hình bình hành, nên BM = GN. Từ đó, ta có BC = BM + GN = BM + BM = 2BM = 2NP.

Vì tứ giác AFMN là hình bình hành, nên AF = MN = NP. Từ đó, ta có tam giác AGF cân tại G.