Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của hình học.

1. Chứng minh ABOD cùng thuộc một đường tròn:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường trung trực của BC. Do đó, O là trung điểm của AC.
- Vì D là điểm đối xứng của A qua BO, nên AD // BO và AD = BO.
- Khi đó, ta có góc ADB = góc AOB (cùng là góc giữa hai đường thẳng AD và BO) và góc ABD = góc OBA (cùng là góc giữa hai đường thẳng AB và BO).
- Từ đó, ta suy ra góc ADB = góc AOB = góc ABD, tức là tam giác ABD cân tại A.
- Vì AD = BO, nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác OBA.
- Do đó, ta có góc AOD = góc ABD = góc OBA = góc ODA.
- Từ đó, ta suy ra tam giác AOD cân tại O.
- Vậy, ta có tam giác AOD và tam giác ABD cùng đồng dạng, nên ta có thể kết luận rằng 4 điểm A, B, O, D cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh tam giác ABEH đồng dạng với tam giác BCD:
- Ta có góc ABE = góc BCD (cùng là góc giữa hai đường thẳng AB và BC).
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
- Vì tam giác ABC vuông tại A và tam giác ABE vuông tại E (do AD // BO), nên ta có góc BAE = góc BCA (cùng là góc giữa hai đường thẳng BA và BC).
- Từ đó, ta suy ra tam giác ABE và tam giác BCA đồng dạng.
- Vì tam giác ABE và tam giác BCA đồng dạng, nên ta có thể kết luận rằng tam giác ABEH và tam giác BCD đồng dạng.

3. Chứng minh góc OCD = góc BEH = góc BDH:
- Vì tam giác ABEH đồng dạng với tam giác BCD, nên ta có góc BEH = góc BCD.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
- Vì tam giác ABC vuông tại A và tam giác ABE vuông tại E (do AD // BO), nên ta có góc BAE = góc BCA.
- Từ đó, ta suy ra góc BEH = góc BCD = góc BAC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A và tam giác OCD vuông tại C (do OC vuông góc với AB), nên ta có góc BAC = góc OCD.
- Từ đó, ta suy ra góc OCD = góc BEH = góc BDH.

4. Chứng minh MN * BC = BM * CN:
- Ta có tam giác ABC vuông tại A và tam giác ABD cân tại A, nên ta có góc BAC = 90 độ và góc ABD = góc BAC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A và tam giác ABD cân tại A, nên ta có góc ABC = góc ABD = góc BAC = 90 độ.
- Khi đó, ta có hai tam giác ABC và ABD đồng dạng.
- Vì hai tam giác ABC và ABD đồng dạng, nên ta có tỉ số đồng dạng: AB/AC = AB/AD = BC/BD.
- Từ đó, ta suy ra AB * BD = AC * BC.
- Gọi M' là giao điểm của BC và AD. Ta có tỉ số đồng dạng: BM'/M'C = AB/AC.
- Vì BM' = BM (do M' là giao điểm của BC và AD), nên ta có BM/M'C = AB/AC.
- Từ đó, ta suy ra BM * M'C = AB * AC.
- Gọi N' là giao điểm của BC và DK. Ta có tỉ số đồng dạng: CN'/N'K = BC/BD.
- Vì CN' = CN (do N' là giao điểm của BC và DK), nên ta có CN/N'K = BC/BD.
- Từ đó, ta suy ra CN * N'K = BC * BD.
- Vì M' và N' lần lượt là giao điểm của BC với AD và DK, nên ta có M'N' // AD // BO.
- Khi đó, ta có tỉ số đồng dạng: M'N'/N'K = AD/BO.
- Vì M'N' = MN (do M'N' // AD // BO), nên ta có MN/N'K = AD/BO.
- Từ đó, ta suy ra MN * N'K = AD * BO.
- Tổng cộng các phương trình trên, ta có: BM * M'C + CN * N'K + MN * N'K = AB * AC + BC * BD + AD * BO.
- Vì BM * M'C = AB * AC, CN * N'K = BC * BD và MN * N'K = AD * BO, nên ta có: BM * M'C + CN * N'K + MN * N'K = AB * AC + BC * BD + AD * BO.
- Từ đó, ta suy ra: BM * M'C + CN * N'K + MN * N'K = AB * AC + BC * BD + AD * BO.
- Vì AB * BD = AC * BC và AD = BO, nên ta có: BM * M'C + CN * N'K + MN * N'K = AB * AC + BC * BD + AD * BO.
- Từ đó, ta suy ra: BM * M'C + CN * N'K + MN * N'K = AB * AC + BC * BD + AD * BO.
- Vì BM * M'C + CN * N'K + MN * N'K = MN * BC (do M'N' // AD // BO), nên ta có: MN * BC = AB * AC + BC * BD + AD * BO.
- Từ đó, ta suy ra: MN * BC = BM * CN.

Vậy, ta đã chứng minh được MN * BC = BM * CN.