a) Ta có BD là tia phân giác của góc ABC, nên góc ABD = góc CBD.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc ABD = góc BAC.
Do đó, góc BAC = góc CBD.
Vì BE = BA, nên góc BAE = góc BAE.
Vậy, tam giác ABE có hai góc bằng nhau, nên tam giác ABE là tam giác cân.
Do đó, AE = BE.
Mà BE = BA, nên AE = BA.
Vậy, tam giác ABD là tam giác cân, nên AD = DE.

b) Ta có AF = EC (theo giả thiết).
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên góc ABD = góc CBD.
Vậy, góc ABD = góc BAC = 90 độ.
Vậy, tam giác ABD là tam giác vuông.
Do đó, góc BDA = 180 - góc ABD = 180 - 90 = 90 độ.
Vậy, tam giác BDA là tam giác vuông.
Mà AD = DE (chứng minh ở câu a), nên tam giác BDA là tam giác cân.
Vậy, góc BDA = góc BAD.
Vì góc BDA = 90 độ, nên góc BAD = 90 độ.
Vậy, tam giác BAD là tam giác vuông.
Vậy, góc BAF = 90 - góc BAD = 90 - 90 = 0 độ.
Vậy, tam giác BAF là tam giác vuông.
Mà AF = EC, nên tam giác BAF = tam giác CEF (cạnh góc cân bằng nhau).
Vậy, góc BFA = góc CFE.
Vậy, tam giác BFA = tam giác CFE (cạnh góc bằng nhau).
Do đó, tam giác BFA và tam giác CFE là hai tam giác đồng dạng.
Vậy, tỉ số đồng dạng giữa chúng là:
BF/CF = BA/CE (theo định lí đồng dạng tam giác).
Vì BF = BA (điểm F trên tia đối AB), nên:
BA/CF = BA/CE.
Vậy, CF = CE.
Mà EC = AF, nên CF = AF.
Vậy, tam giác CFE là tam giác cân.
Do đó, AE // FC (hai cạnh đối song song của tam giác cân).