Để chứng minh I là trực tâm của tam giác AOE, ta cần chứng minh rằng AI là đường cao của tam giác AOE.

Ta có:
- Góc A là góc vuông, nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- Góc AOH là góc vuông, nên AO là đường cao của tam giác AOH.
- Góc AHO là góc vuông, nên AH là đường cao của tam giác AHO.

Do đó, AH là đường cao của tam giác AOE.

Tiếp theo, ta cần chứng minh góc BDC = 90 độ.

Ta có:
- Góc A là góc vuông, nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- Góc AHC là góc vuông, nên HC là đường cao của tam giác AHC.

Do đó, HC vuông góc với AB.

Vì MN là đường thẳng đi qua H và cắt AC tại M, nên theo định lí Euclid, ta có:
- Góc MHC = góc BAC (cùng góc nằm ngoài cùng)
- Góc MCH = góc BCA (cùng góc nằm ngoài cùng)

Vậy, tam giác MHC và tam giác BAC có hai góc tương đương, nên chúng tương đồng.

Từ đó, ta có:
- Góc BHC = góc BAC (do tam giác MHC và tam giác BAC tương đồng)
- Góc BHC = góc BDC (cùng góc nằm ngoài cùng)

Vậy, góc BDC = góc BAC = 90 độ.

Từ đó, ta suy ra I là trực tâm của tam giác AOE và góc BDC = 90 độ.

Vậy, điều phải chứng minh đã được chứng minh.