Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AB = AM. Gọi I là trung điểm của BM, tia AI cắt cạnh BC tại N. a) Chứng minh AI ⊥ BM và NB = NM b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = MC. Chứng minh ba điểm M, N, D thẳng hàng

a) Ta có AB = AM, suy ra tam giác ABM là tam giác cân tại A. Do đó, ta có AI là đường trung bình của tam giác ABM, nên AI cắt BM tại trung điểm I của BM.

Vì AB = AM và AI là đường trung bình của tam giác ABM, nên AI cắt BM tại trung điểm I của BM. Khi đó, theo định lí trung điểm, ta có AI song song với cạnh BC và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh BC. Do đó, ta có AI ⊥ BM.

Tiếp theo, ta chứng minh NB = NM. Ta có AB = AM và AI ⊥ BM, suy ra tam giác ABM và tam giác ANM là hai tam giác cân có cạnh chung AM. Do đó, ta có NB = NM.

Vậy, ta đã chứng minh được AI ⊥ BM và NB = NM.

b) Trên tia đối của tia BA, ta lấy điểm D sao cho BD = MC. Ta cần chứng minh ba điểm M, N, D thẳng hàng.

Ta có AB = AM và BD = MC, suy ra tam giác ABM và tam giác BDC là hai tam giác cân có cạnh chung AB. Do đó, ta có AM // BD.

Vì AM // BD và AI ⊥ BM, suy ra AI ⊥ BD. Khi đó, ta có AI ⊥ BD và AI ⊥ BM, nên AI là đường cao của tam giác BDM.

Vậy, ta có AI là đường cao của tam giác BDM và AI ⊥ BD. Do đó, ta có M, N, D thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được ba điểm M, N, D thẳng hàng.