Để phân tích thành nhân tử, ta cần tìm các giá trị của a sao cho biểu thức a⁷+a²+1 bằng 0.

Đặt a⁷+a²+1 = 0.

Ta có thể nhận thấy rằng a = -1 là một nghiệm của phương trình trên.

Chia phương trình cho a + 1, ta được:

(a⁷+a²+1)/(a+1) = a⁶ - a⁵ + a⁴ - a³ + a² - a + 1 = 0.

Đặt f(a) = a⁶ - a⁵ + a⁴ - a³ + a² - a + 1.

Ta thấy rằng f(-1) = (-1)⁶ - (-1)⁵ + (-1)⁴ - (-1)³ + (-1)² - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7.

Do đó, (a + 1) là một nhân tử của a⁷+a²+1.

Để tìm những nhân tử còn lại, ta cần phân tích f(a) thành nhân tử.

Ta thấy rằng f(a) = (a⁶ - a⁵ + a⁴) + (-a³ + a² - a + 1).

Nhận thấy rằng a⁶ - a⁵ + a⁴ = a⁴(a² - a + 1) và -a³ + a² - a + 1 = -(a³ - a² + a - 1).

Do đó, f(a) = a⁴(a² - a + 1) - (a³ - a² + a - 1).

Tiếp tục phân tích, ta có:

f(a) = a⁴(a² - a + 1) - (a³ - a² + a - 1)
= a⁴(a² - a + 1) - (a²(a - 1) + (a - 1))
= a⁴(a² - a + 1) - a²(a - 1) - (a - 1)
= a⁴(a² - a + 1) - a²(a - 1) - 1(a - 1)
= (a⁴ - a² + 1)(a² - a + 1) - (a - 1)
= (a⁴ - a² + 1)(a² - a + 1) - (a - 1)².

Đặt g(a) = (a⁴ - a² + 1)(a² - a + 1) - (a - 1)².

Ta thấy rằng g(1) = (1⁴ - 1² + 1)(1² - 1 + 1) - (1 - 1)² = 1.

Do đó, (a - 1) là một nhân tử của (a⁴ - a² + 1)(a² - a + 1).

Tổng kết lại, phân tích thành nhân tử của biểu thức a⁷+a²+1 là:

a⁷ + a² + 1 = (a + 1)(a⁶ - a⁵ + a⁴ - a³ + a² - a + 1)
= (a + 1)(a⁴ - a² + 1)(a² - a + 1) - (a - 1)².