Để chứng minh rằng n^2023 + n^2024 + 1 là số nguyên tố, ta sẽ sử dụng định lý Euclid về số nguyên tố.

Giả sử n^2023 + n^2024 + 1 không phải là số nguyên tố. Điều này có nghĩa là n^2023 + n^2024 + 1 có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương a và b, với a và b lớn hơn 1.

Ta có:
n^2023 + n^2024 + 1 = a * b

Ta sẽ chứng minh rằng không thể có hai số nguyên dương a và b sao cho n^2023 + n^2024 + 1 = a * b.

Giả sử tồn tại hai số nguyên dương a và b sao cho n^2023 + n^2024 + 1 = a * b.

Ta có:
n^2023 + n^2024 + 1 ≡ 0 (mod a)
n^2023 + n^2024 + 1 ≡ 0 (mod b)

Từ đó suy ra:
n^2023 + n^2024 + 1 ≡ 0 (mod a)
n^2023 + n^2024 + 1 ≡ 0 (mod b)
=> n^2023 + n^2024 + 1 ≡ 0 (mod a * b)

Từ đó suy ra:
n^2023 + n^2024 + 1 ≡ 0 (mod a * b)
=> a * b | n^2023 + n^2024 + 1

Tuy nhiên, ta đã giả sử rằng n^2023 + n^2024 + 1 không phải là số nguyên tố, nghĩa là n^2023 + n^2024 + 1 có thể phân tích thành tích của hai số nguyên dương a và b, với a và b lớn hơn 1. Điều này mâu thuẫn với kết quả trên.

Vì vậy, giả sử ban đầu là sai. Do đó, n^2023 + n^2024 + 1 là số nguyên tố.