Cho tam giác đều ABC trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BÀ = BD trên tia đối của tia CB lấy điểm e sao cho CB = CE

a) Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH là đường cao của tam giác ABC và cắt BC tại H.
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH cũng là trung tuyến của tam giác ABC và cắt BD tại M.
- Ta có AM = MH (do AH là trung tuyến) và AM = BM (do tam giác ABM là tam giác cân), suy ra BM = MH.
- Vậy tam giác DBA là tam giác cân tại B.

Tương tự, ta có tam giác ACE là tam giác cân tại C.

b) Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH là đường cao của tam giác ABC và cắt BC tại H.
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH cũng là trung tuyến của tam giác ABC và cắt CE tại N.
- Ta có AN = NH (do AH là trung tuyến) và AN = CN (do tam giác ACN là tam giác cân), suy ra CN = NH.
- Vậy tam giác ABD bằng tam giác ACE.

c) Gọi I là trung điểm của DE.
Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH là đường cao của tam giác ABC và cắt BC tại H.
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH cũng là trung tuyến của tam giác ABC và cắt DE tại I.
- Ta có AI = IE (do AH là trung tuyến) và AI = DI (do tam giác ADI là tam giác cân), suy ra DI = IE.
- Vậy tam giác ADE là tam giác cân tại D và E.

d) Gọi H' là hình chiếu vuông góc của H lên AD.
Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH là đường cao của tam giác ABC và cắt BC tại H.
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH cũng là trung tuyến của tam giác ABC và cắt AD tại H'.
- Vậy DH' vuông góc với AD.

e) Ta có:
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH là đường cao của tam giác ABC và cắt BC tại H.
- Vì tam giác ABC là tam giác đều nên AH cũng là trung tuyến của tam giác ABC và cắt DE tại I.
- Vậy DH' và DC là hai đường thẳng cắt nhau tại H' và vuông góc với AD, suy ra H', D, C thẳng hàng.